Барицентрический метод решения геометрических задач

Решения многих геометрических задач можно получить, привлекая свойства масс (или барицентра системы материальных точек). Эти «барицентрические» решения используют понятия, заимствованные из механики: масса, материальная точка, центр масс, правило рычага и опираются на наглядные физические соображения. Эти соображения «во-первых, дают нам предчувствие решения, и, во-вторых, подсказывают правильных ход рассуждений». (Пуанкаре, 1854-1912). «Барицентрические решения» являются математически совершенно строгими. Понятие о центре тяжести впервые изучено примерно 2200 лет назад греческим геометром Архимедом, величайшим математиком древности. С тех пор понятие стало одним из важнейших в механике, а также позволило сравнительно просто решать некоторые геометрические задачи.

Именно приложение к геометрии мы и будем рассматривать. Для этого нужно ввести некоторые понятия и определения.

Под материальной точкой понимают точку, снабженную массой. Для наглядности можно себе физически представить материальную точку в виде маленького тяжелого шарика, размерами которого можно пренебречь. Если в точке A помещена масса m, то образующую материальную точку будем обозначать так: mA. Массу m иногда называют «нагрузкой точки A». Заметим, что в математических приложениях число m можно считать не только положительным (как в механическом понимании массы), но и отрицательным.

Рассмотрим в пространстве несколько очень маленьких шариков, имеющих какие-то массы, и соединим их друг с другом жесткими, но практически невесомыми стержнями. Эту конструкцию будем называть системой материальных точек. Из физики известно, что для любой такой системы найдется точка Z пространства, обладающая одним поразительным свойством. А именно: если мы расположим всю систему произвольным образом в пространстве, а затем подвесим ее за нитку в точке Z, то вся система останется в равновесии . Эту точку называют центром масс (или центром тяжести) системы материальных точек, (или барицентром) системы материальных точек.

Центр масс любой системы обладает следующим основными свойствами:

1. Существование и единственность

Любая система материальных точек имеет центр масс. И при том только один.

2. Однородность

Если массу каждой точки системы умножить на одно и тоже положительное число (то есть уменьшить или увеличить одновременно в одинаковое число раз), то центр масс не изменится.

3. Правило рычага )

Центр масс Z системы, состоящей из двух материальных точек m1A1, m2A2, расположен внутри отрезка A1A2 (ближе к более массивной точке), причем ZA1/ZA2 = m2/m1.

4. Правило группировки

Если систему материальных точек с центром масс в точке Z разбить на несколько непересекающихся подсистем, нагрузить центр масс каждой подсистемы суммарной массой соответствующей подсистемы, а затем рассмотреть систему из образованных, таким образом, материальных точек, то центр масс этой подсистемы совпадает с точкой Z.

II. Центроиды треугольника и тетраэдра

Теорема Архимеда: В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины

Доказательство:

Докажем ее способом, который редко встретишь в школьном учебнике, а между тем именно так доказывал эту теорему Архимед. В некоторых книгах ее и называют «теорема Архимеда». .

Нагрузим вершины треугольника единичными массами . Полученная, таким образом, система материальных точек, согласно свойству существования, имеет центр масс – некоторую точку Z. Далее, разобьем эту систему на две подсистемы: 1A и (1B, 1C). Центр масс второй подсистемы (с суммарной массой 2) расположен по правилу рычага, в середине отрезка BC – в точке A1 . Используя правило группировки, мы можем исходную систему заменить эквивалентной, то есть – с тем же центром масс: 1A, 2A1. Еще раз применив правило рычага, получим, что центр масс всей системы Z лежит на медиане AA1, причем AZ:ZA1 = 2:1 .

Теорема доказана – поскольку ясно, что разбив систему по – другому, например, 1B и (1C, 1A), и рассуждая аналогично, придем к выводу, что центр масс расположен на медиане, проведенной из вершины B, и делит ее в таком же отношении.

То же самое справедливо и для третьей медианы.

Полученная точка называется в геометрии не только «точкой пересечения медиан», но также центром тяжести (масс) треугольника или центроидом треугольника.

Многие теоремы планиметрии имеют свои пространственные аналоги. (Но далеко не все теоремы: к примеру, высоты произвольного тетраэдра не обязаны пересекаться в одной точке).

Назовем медианой тетраэдра отрезок, соединяющий его вершину с центродом противолежащей грани.

Теорема: Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1 от соответствующей вершины .

Нагрузим вершины тетраэдра единичными массами. Рассмотрим разбиение 1D, (1A,1B, 1C). Центр масс тетраэдра находится на отрезке DMD. В точке D масса 1, в точке MD – масса 3. По правилу рычага: DM/MMD = mMD/mD = 1/3. Рассматривая разбиение 1B, (1A, 1C, 1D), мы получим BM/MMB = 1/3. И так для каждой вершины.

Так как любая система материальных точек имеет единственный центр масс (свойство единственности), то делаем вывод, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины.

Рассмотрим тетраэдр DABC .

По правилу рычага и группировки, система 1A, 1B эквивалентна материальной точке 2C1, расположенной в середине AB; система 1D, 1C – в точке 2A1, расположенной в середине DC.

Значит центр масс всей системы (центроид тетраэдра) совпадает с центром масс системы 2C1, 2A1, то есть, по правилу рычага лежит в середине отрезка, соединяющего середины противоположных ребер тетраэдра. Такие отрезки называются бимедианами тетраэдра.

Мы доказали еще одну теорему: Бимедианы тетраэдра проходят через его центроид, причем делятся им пополам.

В данном случае, геометрия масс не только помогла эту теорему доказать, но, что гораздо более существенно, помогла нам ее увидеть, то есть обнаружить и сформулировать. Координата центра масс - средняя координата системы из n материальных точек. Положение центра масс определяется следующим образом:

III. Применение в химии

Химические системы – растворы, сплавы, химические соединения, а также смеси, состоящие из нескольких химических веществ, в некоторых отношениях аналогичны материальным точкам.

Для конкретности будем рассматривать трехкомпонентные смеси или соединения (составленные из трех веществ, элементов или иных компонентов). Пусть, скажем, из трех веществ A, B, C составлена смесь с общей массой m, причем на каждую единицу массы этой смеси приходится µ1 единиц вещества A, µ2 единиц вещества B и µ3 единиц вещества C (так что µ1 + µ2 + µ3 = 1). Числа µ1, µ2, µ3, называются концентрациями компонентов A, B, C. Выберем на плоскости произвольный треугольник ABC (базисный треукольник) и сопоставим рассматриваемой смеси материальную точку mK следующим образом: в точку K с Б-координатами (µ1; µ2; µ3,) помещается масса m всей рассматриваемой смеси. Таким способом каждой трехкомпонентной смеси сопоставляется материальная точка в ∆ABC, причем смесям с различными составами (т. е. отличающимися концентрациями компонентов) сопоставляются материальные точки, по-разному расположенные в ∆ABC. При этом каждая материальная точка mK, где K принадлежит ∆ABC, характеризует вполне определенную смесь.

Пусть теперь имеются две смеси m1K1 и m2K2. Если их перемещать, то возникает новая смесь; масса этой новой смеси, очевидно, равна m = m1 + m2, а концентрациями веществ в получившейся смеси соответствует некоторая новая точка K в ∆ABC. Естественно возникает вопрос, где же будет расположена эта новая точка K, т. е. какой материальной точкой mK будет характеризоваться эта новая смесь (называемая объединением смесей m1K1 и m2K2)? Имеет место следующее легко проверяемое утверждение:

Если две смеси характеризуются материальными точками m1K1 и m2K2, то объединение этих смесей характеризуется материальной точкой mK, которая является суммой этих двух материальных точек, т. е. m = m1 + m2 и K – центр масс рассматриваемых двух материальных точек: mK = m1K1 + m2K2.

Аналогичное утверждение верно и применительно к смеси, возникающей при перемешивании любого числа смесей, составленных из трех заданных компонентов. Иначе говоря, если смесь возникла при смешивании n смесей, составленных из одних и тех же трех компонентов A, B, C и характеризуемых материальными точками m1K1, m2K2, , mnKn, где m = m1 + m2 + mn.

Это предложение позволяет сводить разнообразные задачи, в которых речь идет о смесях, к задачам о нахождении центров масс системы материальных точек.

В качестве базисного треугольника, используемого для изображения трехкомпонентных смесей в виде материальных точек, часто берут правильный треугольник. Понятно, что для этой же цели пригоден треугольник произвольной формы. Такого рода треугольные диаграммы находят важные и разнообразные приложения в физико-химическом анализе.

Аналогичным образом можно для изображения четырехкомпонентных смесей использовать материальные точки в заданном тетраэдре, а для изображения многокомпонентных смесей аналогичную роль выполняют симплексы в многомерных пространствах. Для двухкомпонентных смесей эту роль играет отрезок.

Заключение

В своей работе я рассмотрел и изучил нестандартный метод решения геометрических и химических задач, а именно: их решение барицентрическим методом, а также создал программу в среде программирования Borland C++ Builder для расчёта и графического представления центра масс системы материальных точек. С её помощью я лучше закрепил свои знания о барицентрическом методе. Данную программу можно применять на факультативных занятиях математики, физики, химии.

Конечно, любую математическую задачу можно решить с помощью стандартных методов, изучаемых в школьном курсе. Но барицентрический метод позволяет не только сократить решение, сделать его более рациональным, но и, так как в нём используется система материальных точек, даёт возможность наглядно представить решение задачи. Это может сыграть немаловажную роль при решении задач, попавшихся на экзамене при поступлении на математический факультет в университете, или олимпиадах политехнических наук старшеклассников и учащихся ВУЗов. Поэтому я считаю, что моя работа имеет большое значение для людей, углублённо изучающих точные науки.