Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.

В курсе геометрии 9 класса рассматривается вопрос о геометрических преобразованиях. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движение, то есть преобразования, сохраняющие расстояние. Примерами движения плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос и поворот. Кроме этого, существуют и другие преобразования, играющие важную роль в современной геометрии. Преобразование f евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые - снова в параллельные.

Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными отношениями, то есть точка A' (x’;y’), в которую переходит точка А (х;у), определяется формулами:

, где ad - bc≠0 ( и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если А, В, С – три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и A', B', C’ – три другие точки, также не лежащие на одной прямой, то существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки А, В и С соответственно в A', B', C’. Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях (не сохраняется в отличие от преобразований подобия) и отношения длин отрезков. Однако, отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медианы треугольника – в медианы и т. п. Круг и окружность при аффинном преобразовании переходит в «овал».

С «овалом» можно встретиться при таком геометрическом преобразовании как центральная проекция. (ее также называют «линейной перспективой»). На рисунке 2 одной из проекций шара на плоскость является «овал».

«Овалом» является и сечение цилиндра, конуса и шара. Орбита любой планеты – тоже «овал».

Проблема. Как в геометрии называется фигура, в народе называемая «овалом»? Каковы ее определение и свойства? Как ее построить?

Гипотеза. Я предполагаю, что существует в геометрии особое название такой фигуры. И, зная только определение, можно научиться строить ее.

То, что в простонародье называется «овалом», в математике носит название эллипс.

2. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения.

В «Энциклопедическом словаре юного математика» дается такое определение эллипса.

Эллипс – одно из конических сечений, «недостаток» (приложение с недостатком). Это обозначение ввёл Аполлоний Пергский (примерно II в. до н. э. ).

В учебнике по высшей математике эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F и F.

Замечание. Сумма расстояний произвольной точки М от двух фиксированных точек F и F, очевидно, не может быть меньше расстояния между точками F и F. Эта сумма равна расстоянию между F, F в том и только в том случае, когда точка М находится на отрезке FF. Следовательно, геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F, F, есть постоянная величина, равная расстоянию между F, F, представляет собой просто отрезок FF. Указанный случай исключён оговоркой в конце предыдущего определения.

Пусть М – произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2. Отрезки F1 M и F2 M (так же как и длина этих отрезков) называются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокальных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F1 М+ F2 M=2a. (1)

Расстояние F1 F2 между фокусами обозначают через 2с. Так как

F1 M+F2 M>F1 F2, то

2а>2с, т. е. а>с. (2)

Немного далее мы установим форму эллипса аналитически при помощи исследования его уравнения; уравнение эллипса выводится в следующем разделе.

Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F, F(вместе с тем мы считаем данные а и с). Введём на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к этому эллипсу; именно, в качестве оси абсцисс мы возьмём прямую FF, считая её направленной от F к F, начало координат поместим в середине отрезка FF . Выведем уравнение эллипса в установленной системе координат.

Возьмём на плоскости произвольную точку М и обозначим её координаты через х и у. Обозначим, далее, через r1 и r2 расстояния от точки М до фокусов (r1=F1 M, r2=F2 M). Точка М будет находиться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда r1+r2=2a. (3)

Чтобы получить искомое уравнение, нужно равенстве (3) заменить переменные r1 и r2 их выражениями через координаты х, у.

Заметим, что так как F1 F2=2c и так как фокусы F1 и F2 расположены на оси 0х симметрично относительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (-с; 0) и (+с; 0); приняв это во внимание и применяя формулу (2), находим: r1 =, r2 = (4)

Заменяя r1 и r2 в равенстве (3) найденными выражениями, получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М (х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на этом эллипсе. Дальнейшие наши выкладки имеют целью получить уравнение эллипса в более простом виде.

Уединим в уравнении (5) первый радикал, после чего возведём обе части равенства в квадрат; получим:

(6) или а (7)

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдём:

(8) откуда

Здесь мы введём в рассмотрение новую величину

B= (10) геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее; сейчас мы только заметим, что а>c, следовательно, а2 –с2>0 и величина b-вещественна. Из равенства (10) имеем: b2 =а2 –с2, (11) вследствие чего уравнению (9) можно придать вид

Докажем, что уравнение (12) есть уравнение данного эллипса. Этот факт не является самоочевидным, поскольку уравнение (12) получено из уравнения (5) двукратным освобождением от радикалов; очевидно лишь, что уравнение (12) в свою очередь есть следствие уравнения (5). Мы должны доказать, что уравнение (5) в свою очередь есть следствие уравнения (12), т. е. что эти уравнения эквивалентны.

Предположим, что х, у – какие-нибудь два числа, для которых соблюдено равенство (12). Производя предыдущие выкладки в обратном порядке, мы получим из равенства (12) сначала равенство (9), затем равенство (8), которое сейчас запишем в виде

Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим

Заметим теперь, что в силу равенства (12) должно быть. Так как и с<а, то , следовательно, число а2-сх положительно. Поэтому в правой части равенства (13) необходимо взять знак плюс. Так мы приходим к равенству (7), после чего получим равенство (6); последнее мы напишем в виде

Исследуем величину

В силу равенства (12) имеем Далее , следовательно, число -2сх по абсолютному значению меньше 2а2. Наконец, также из равенства (12) заключаем, что , т. е. у2 а2 –с2 или с2 +. Ввиду этих обстоятельств вся сумма в правой части (15) меньше 4азначит, корень из этой суммы меньше 2а. Поэтому величина, стоящая внутри скобок в правой части (14), положительна, следовательно, в равенстве (14) перед скобками нужно брать знак плюс. Таким образом, мы получаем:

откуда сразу следует равенство (5).

Итак, уравнение (5) выводится из уравнения (12), как и уравнение (12) выводится из уравнения (5). Тем самым доказано, что уравнение (12) есть уравнение данного эллипса, поскольку оно эквивалентно уравнению (5).

Уравнение (12) называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

Определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

3. Исследование формы эллипса.

Выше, в nо 2, мы описали форму эллипса, исходя из наглядных соображений. Здесь мы проведём исследование формы эллипса путём анализа его канонического уравнения

Подчеркнём прежде всего алгебраическую особенность уравнения (1): оно содержит члены только с чётными степенями текущих координат.

Указанной алгебраической особенности уравнения (1) соответствует важная геометрическая особенность определяемой им линии: эллипс, определяемый уравнением (1), симметричен как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу.

В самом деле, если М (х; у) – какая-нибудь точка этого эллипса, т. е. если числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то числа х, -у также удовлетворяют уравнению (1); следовательно, точка М, (х; -у) также лежит на этом эллипсе. Но точка М, (х; -у) симметрична точке М(х; у) относительно оси Ох. Таким образом, все точки эллипса расположены парами, симметрично относительно оси Ох. Иначе говоря, если мы перегнём чертёж по оси Ох, то верхняя часть эллипса совместиться с его нижней частью. А это и означает, что эллипс симметричен по отношению к оси Ох.

Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу доказывается совершенно аналогично (на основании того, что если числа х. у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и числа – х, у).

Чтобы исследовать форму эллипса, выразим из уравнения (1) величину у как функцию от х:

Поскольку эллипс симметричен относительно каждой из координатных осей, нам достаточно рассмотреть лишь ту его часть, которая лежит в первой координатной четверти.

Так как указанная часть эллипса лежит в верхней полуплоскости, то ей соответствует этак + в правой части уравнения (2); а так как она вместе с тем лежит в правой полуплоскости, то для всех её точек х0. Таким образом, мы должны изобразить график функции

(3) при условии х0.

Возьмём сначала х=0, тогда у=b. Точка В(0; b) является самой левой точкой рассматриваемого графика. Пусть теперь х увеличивается, начиная от нуля. Очевидно, что при увеличении х подкоренное выражение в формуле (3) будет уменьшаться; вместе с тем, следовательно, будет уменьшаться и величина у. Таким образом, переменная точка М(х; у), описывающая рассматриваемый график, движется вправо и вниз (рис. 2). Когда х сделается равным а, мы получим у=0; тогда точка М(х; у) совпадает с точкой А(а; 0), лежащей на оси Ох. При дальнейшем увеличении х, т. е. при х>а, подкоренное выражение в формуле (3) становится отрицательным, а значит, у – мнимым. Отсюда следует, что точка А является самой правой точкой графика. Итак, частью эллипса, расположенной в первой координатной четверти, является дуга ВА.

Производя зеркальные отражения дуги ВА относительно координатных осей, мы получим весь эллипс; он имеет форму выпуклого овала с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии .

Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями, а точку пересечения осей – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. 6 вершины эллипса суть точки А, А,, В и В,. Заметим, что осями эллипса принято называть также отрезки АА,=2а и ВВ,=2b. Если эллипс расположен относительно координатных осей так, как было описано в nо 2, именно, если фокусы его находятся на оси Ох, то следовательно,.

В этом случае отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок ОВ=b – малой полуосью. Но, само собой разумеется, эллипс, определяемый уравнением вида (1), может быть расположен так, что его фокусы будут на оси Оу; тогда b>a и большой полуосью его будет отрезок ОВ=b. Но во всяком случае длина отрезка ОА на оси абсцисс обозначается через а, а длина отрезка ОВ на оси ординат обозначается через b.

В частном случае, когда b=а, уравнение принимает вид ; такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром в начале координат). В соответствии с этим окружность рассматривается как частный случай эллипса.

4. Эксцентриситет эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой , получаем:

Так как с

Заметим, что ; поэтому отсюда

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1-, тем меньше, следовательно, отношение значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности b=а и =0.

5. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса.

Рассмотрим произвольную точку М (х; у), лежащую на данном эллипсе. Если r1 и r2 – фокальные радиусы этой точки, то

Оказывается, для выражения фокальных радиусов можно указать другие формы, свободные от иррациональностей.

В самом деле, из равенства (7) мы имеем:

Полагая здесь и принимая во внимание вторую из формул (1), получим:

По определению эллипса r1+r2=2а; отсюда и из предыдущего

Итак, имеют место формулы

6. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения эллипса.

Пусть дан эллипс

Опишем вокруг его центра две окружности, одну – радиусом а, другую – радиусом b (считаем а>b); проведём через центр эллипса произвольный луч и обозначим буквой t полярный угол этого луча . Проведённый луч пересечёт большую окружность в некоторой точке Р, меньшую – в некоторой точке Q. Проведём затем через точку Р прямую, параллельную оси Оу, через точку Q – прямую, параллельную оси Ох; пусть М – точка пересечения этих прямых, а Р1 и Q1 – проекции точек Р и Q на ось абсцисс.

Выразим координаты точки М через t. Из рис. 7 легко усмотреть, что cos t,

У=Р1 М=Q1 Q=OQ sin t=b sin t.

Таким образом,

Подставляя эти координаты в уравнение (1), убедимся, что они удовлетворяют ему при любом t. Следовательно, точка М находится на данном эллипсе. Итак, мы показали, как построить одну точку эллипса. Проводя ряд лучей и производя указанное построение соответственно каждому из них, мы можем построить столько точек эллипса, сколько пожелаем. Этот приём часто употребляется в чертёжной практике (соединяя построенные точки с помощью лекал, можно получить изображение эллипса, вполне удовлетворительное с практической точки зрения).

Уравнение (2) выражают координаты произвольной точки эллипса как функции переменного параметра t; таким образом, уравнения (2) представляют собой параметрическое уравнение эллипса.

7. Построение эллипса простейшим прибором.

Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо взять две булавки с ниткой, воткнуть их в чертежную доску, взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс.

8. Эллипс как проекция окружности на плоскость.

Эллипс как сечение круглого цилиндра.

Здесь мы докажем, что проекция окружности на произвольную плоскость является эллипсом.

Пусть окружность k, лежащая в плоскости , проектируется на некоторую плоскость a. Обозначим через k, геометрическое место проекций всех точек окружности k; нужно показать, что k, есть эллипс. Для удобства рассуждений будем предполагать, что плоскость а проходит через центр окружности k . Введём на плоскости а декартову прямоугольную систему координат, приняв в качестве оси Ох прямую, по которой пересекаются плоскости а и , в качестве начала координат – центр окружности k, через - острый угол между плоскостями а и. Пусть Р – произвольная точка окружности k, М – её проекция на плоскости а, Q – проекция на оси Ох, t – угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты точки М через t. Из рис. 5 легко усмотреть, что

Обозначив постоянную величину буквой b, получим:

Эти уравнения в точности совпадают с параметрическими уравнениями эллипса ; следовательно, линии k, является эллипсом (с большой полуосью а и малой полуосью b=a cos)

Легко показать также, что каждое сечение круглого цилиндра плоскостью, не параллельной его оси, есть эллипс.

Для доказательства рассмотрим какой-нибудь круглый цилиндр и секущую плоскости а ; линию, которая образуется в сечении, обозначим через k,. Пусть О – точка, в которой плоскость а пересекает ось цилиндра; проведём через точку О плоскость , перпендикулярную к оси. Эта плоскость пересечёт цилиндр по окружности k. Обозначим через а радиус этой окружности, через - острый угол между плоскостями а и. Выберем затем на плоскости а координатные оси так, как показано на рис. 6. Возьмём на линии k, произвольную точку М; пусть Р – её проекция на плоскости , Q – проекция на ось Ох, t – угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим координаты точки М через t, имеем:

Полагая получим:

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнение эллипса; таким образом, линия k, является эллипсом, что и требовалось доказать.

9. Заключение.

В начале работы я столкнулась с проблемой: как в геометрии называется фигура, в народе называемая «овалом», каковы ее определение и свойства, как ее построить.

Гипотеза, предположенная мною в начале работы, подтвердилась: «овал», как выяснилось, в геометрии носит название «эллипс». Эллипс является результатом аффинных преобразований. Это объясняет, почему круглые предметы: колеса машин, иллюминаторы кораблей, циферблаты часов и т. д. – мы видим как эллипсы, если смотрим на них под углом.

Таким образом, цель, которую я поставила перед собой, достигнута. Изучив определение и свойства эллипса, я научилась строить его несколькими способами. Из рассмотренных способов мне наиболее понравился простейший способ построения, который позволяет построить эллипс, имея под рукой только нитку.

В заключении хочу рассмотреть вопрос о том, где встречаются и применяются эллипсы.

Одним из замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами, пересекают касательную к эллипсу в этой точке под равными углами. А это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отражения попадает в другой.

Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Многими сечением тел вращений (конуса, цилиндра, шара) являются эллипсы. Поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей, называется эллипсоидом вращения. Заметим, что Земля имеет похожую форму, поскольку расстояние между ее полюсами (12714 км) меньше, чем расстояние между диаметрально противоположными точками экватора (12756 км).

Сечение конуса Сечения цилиндра

Сечение эллипсоида

Любое сечение эллипсоида плоскостью является эллипсом.

Немецкий астроном Иоганн Кеплер, продолжатель дела Коперника, доказал, что орбиты всех планет представляют собой вытянутые окружности – эллипсы, т. е. все тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллипсам. По эллипсам движутся вокруг Земли ее искусственные спутники и естественный спутник – Луна.

Кольца Урана и Сатурна также имеют эллиптическую форму.

В 1679 году Исаак Ньютон показал, что любое тело в поле тяготения будет двигаться по коническому сечению.

С понятием эллипса в астрономии связаны и эллиптические галактики. Они составляют примерно 25 % от общего числа галактик высокой светимости. Их принято обозначать буквой E (англ. elliptical). Типичная Е-галактика выглядит как сфера или эллипсоид, диск в ней практически полностью отсутствует. Эллиптические галактики, как и сферические компоненты у галактик других типов, почти лишены межзвездного газа, а следовательно и молодых звезд. Звезды эллиптических галактик обращаются вокруг центра галактики очень медленно (скорость вращения обычно не превышает нескольких десятков км/с) орбите в направлении, противоположном направлению вращения планет.

Орбиты большинства комет – сильно вытянутые эллипсы.

Комета Галлея движется по эллиптической Комета Хейла–Боппа, 1997 год.

В изобразительном искусстве эллипс применяется при изображении тени, отбрасываемой от круглых тел.

В природе тоже можно встретить эллипсы. Например, птицы во время выбора места будущего гнезда делают облёт участка по кругу или эллипсу.

При радиации зона фактического заражения имеет форму эллипса и включается в зону возможного заражения. От центра взрыва (аварии) по направлению среднего ветра проводят ось прогнозируемых зон заражения, определяют по таблицам длину и максимальную ширину каждой зоны заражения, отмечают их точками на карте. Через эти точки и проводят эллипсы.

Данная работа меня очень заинтересовала. Я узнала, что эллипс – это одна из кривых второго порядка. К таким кривым также относятся гипербола и парабола. Изучая литературу по данной теме, я увидела, что они имеют большое практическое применение, как и эллипс. В дальнейшем я планирую изучить более глубоко и эти кривые